Standardizacija i z-vrednost

Jedan ispitanik ima 78 bodova na testu znanja i 4,1 na skali zadovoljstva. Pitanje koje se u radu prirodno postavlja glasi: u čemu je bolji? Brojevi se ne mogu uporediti, jer su sa različitih skala — jedna ide do sto, druga do pet.

Standardizacija je postupak koji taj problem rešava tako što oba rezultata prevodi na zajednički jezik. Umesto „koliko bodova”, pita koliko je taj rezultat udaljen od proseka svoje grupe, mereno rasipanjem te grupe.

Šta z-vrednost kaže

Z-vrednost jednog rezultata je njegova udaljenost od proseka, izražena u jedinicama standardne devijacije. To je cela ideja i nema je više od toga.

Rezultat jednak proseku ima z-vrednost nula. Rezultat koji je za jednu standardnu devijaciju iznad proseka ima z-vrednost 1. Onaj koji je za pola devijacije ispod ima −0,5.

Iz toga slede tri stvari koje se čitaju odmah.

Znak kaže stranu. Pozitivno je iznad proseka, negativno ispod. Nula znači tačno na proseku.

Broj kaže koliko. Veći broj, veća udaljenost. Koliko je „mnogo” zavisi od oblasti, ali vrednosti preko dva ili tri se u većini skala smatraju izraženo netipičnim.

Merilo je uvek rasipanje te grupe. Iste tri razlike u bodovima daju sasvim različite z-vrednosti u grupi u kojoj su svi slični i u grupi koja je raštrkana. To nije mana postupka nego njegova poenta: isto odstupanje znači više tamo gde se svi ponašaju slično.

Kad se ceo niz prevede na z-vrednosti, novi niz ima prosek nula i standardnu devijaciju jedan, kod svake varijable. Otuda i mogućnost poređenja: 78 bodova i 4,1 su postali dva broja na istoj skali. Šta su prosek i standardna devijacija i kako se računaju, u tekstu deskriptivna statistika.

Primer sa dva broja sa početka

Vratimo se na ispitanika sa 78 bodova na testu znanja i 4,1 na skali zadovoljstva. Da bi se ta dva broja uporedila, potrebna su još četiri: prosek i rasipanje svakog od njih u tvom uzorku.

Poslednja kolona odgovara na pitanje sa početka. Taj ispitanik jeste iznad proseka na oba merenja, ali je izraženije iznad na skali zadovoljstva — jer tamo grupa mnogo manje varira, pa ista razlika od proseka vredi više.

Obrati pažnju na to koliko druga i treća kolona odlučuju. Da je rasipanje na skali zadovoljstva bilo veće, isti rezultat od 4,1 dao bi manju z-vrednost i zaključak bi se okrenuo. Zato se u radu uz svaku standardnu vrednost mora znati iz kog uzorka su izvedeni prosek i rasipanje — inače broj visi u vazduhu.

Šta z-vrednost ne kaže

Ovde nastaje najčešća greška u tumačenju.

Z-vrednost sama po sebi ne govori koliki procenat ljudi stoji ispod tog rezultata. Da bi se iz udaljenosti od proseka izveo procenat, mora se znati kako su podaci raspoređeni. Tek kad raspodela ima poznat oblik, udaljenost se prevodi u položaj na listi — o čemu piše normalna raspodela.

Ako ti je raspodela iskrivljena, z-vrednost je i dalje tačno izračunata i i dalje kaže koliko je neko udaljen od proseka, ali rečenica „taj ispitanik je iznad 95 odsto ostalih” se iz nje ne sme izvesti.

Druga stvar koju ne kaže: da li je rezultat dobar. Z-vrednost od −1,5 na skali anksioznosti znači nešto sasvim drugo nego ista vrednost na testu znanja. Smer tumačenja daje sadržaj varijable, ne broj. Na jednoj skali je udaljenost naniže povoljna, na drugoj nije, a postupak tu razliku ne poznaje.

Gde se standardizacija stvarno koristi u radu

Četiri mesta na kojima se sreće u diplomskim radovima, od najčešćeg ka ređem.

Poređenje skorova sa različitih instrumenata. Kad ista osoba ima rezultate sa dve različite skale, prevod na z-vrednosti je jedini pošten način da se kaže gde stoji bolje.

Sastavljanje zbirnog skora od delova različite dužine. Ako se ukupan pokazatelj sastavlja od tri dimenzije, a prva ima deset stavki a druga četiri, prosto sabiranje daje prvoj tri puta veću težinu bez ikakvog razloga. Standardizacija delova pre sabiranja to izjednačava.

Traženje netipičnih vrednosti. Prevedeš kolonu u z-vrednosti i pogledaš ko je daleko izvan ostatka. To je samo način da se sumnjiv podatak pronađe — šta se s njim radi je posebna odluka, i ona se donosi po pravilu koje je zapisano pre gledanja podataka.

Poređenje uticaja u modelu. U modelu sa više prediktora koeficijenti stoje u različitim jedinicama — godine, dinari, broj bodova — pa se međusobno ne porede. Standardizovana verzija koeficijenta ih svodi na istu meru, pa se može reći koji prediktor nosi više. Kako se sam model čita, u tekstu regresiona analiza.

Šta standardizacija ne rešava

Tri stvari koje se od nje pogrešno očekuju.

Ne popravlja raspodelu. Prevod na z-vrednosti pomera i skuplja niz, ali mu ne menja oblik. Iskrivljena raspodela ostaje iskrivljena. Standardizacija zato nije zamena za izbor odgovarajućeg postupka kad pretpostavke ne stoje.

Ne diže nivo merenja. Ako je podatak ordinalan, njegova z-vrednost je i dalje izračunata iz nečega što nema jednake razmake. Broj izgleda uverljivije, a informacija je ista. Koji nivo šta dozvoljava, pokrivaju nivoi merenja.

Ne čini rezultate uporedivim između različitih uzoraka. Ovo je najozbiljnija zamka. Z-vrednost se računa u odnosu na prosek te grupe. Isti ispitanik sa istih 78 bodova ima jednu z-vrednost među brucošima, a sasvim drugu među apsolventima. Ako u radu porediš z-vrednosti izračunate u dve različite grupe, ne porediš ljude nego njihove položaje u dva različita društva — što je možda baš ono što hoćeš, ali se mora napisati.

Kako se to piše u radu

Standardizacija ne dobija svoje poglavlje. Dobija rečenicu na mestu gde se prvi put koristi, sa razlogom i sa osnovom.

Pošto se dve skale razlikuju po broju stavki i rasponu, skorovi su pre poređenja prevedeni u standardne vrednosti, izračunate na celom uzorku.

Deo „izračunate na celom uzorku” nije ukras. Bez njega čitalac ne zna u odnosu na koga je neko iznad proseka, a to je jedini podatak koji z-vrednost nosi.

U tabelama se z-vrednosti navode sa dosledno istim brojem decimala i sa znakom, jer minus ovde nosi značenje i lako se izgubi pri prelomu. Ako u radu prikazuješ i izvorne bodove i standardne vrednosti, izvorni idu prvi, jer su čitaocu razumljiviji.

I poslednje: u tumačenju se koriste reči, ne brojevi. Rečenica „prosečna z-vrednost grupe iznosila je 0,62” nikome ništa ne govori bez nastavka — „što znači da je ta grupa u proseku bila osetno iznad proseka celog uzorka”. Broj ide uz objašnjenje, ne umesto njega.

Najčešće greške

• Z-vrednost prevedena u procenat bez provere oblika raspodele
• Poređenje z-vrednosti izračunatih u različitim grupama kao da su iste
• Standardizacija shvaćena kao ispravka iskrivljene raspodele
• Ordinalan podatak standardizovan, pa tretiran kao brojčan
• Osnova računanja nigde navedena — ne zna se u odnosu na koga
• Znak izostavljen ili izgubljen u tabeli
• Netipične vrednosti izbačene samo zato što su ih z-vrednosti izdvojile
• Standardizovani koeficijenti tumačeni kao uzrok, a ne kao poređenje težine